A.2 Integration der Tunnelstromdichte J

A.2. Integration der Tunnelstromdichte J

Um zu dem Ausdruck 2.8 für die Tunnelstromdichte J zu gelangen, hat John G. Simmons die Größen

integral oo --m--- z1 = 2p2h3 dE ||f(E), 0

(A.8)

integral oo m z2 = --2-3- dE|| f(E + eU ) 2p h 0

(A.9)

und

z = z - z 1 2

(A.10)

eingeführt, mit denen sich

J = eDN = e(N1 - N2) integral Em integral oo --m--- = 2p2h3 dEx T (Ex) dE || f(E) - f (E + eU ) (A.11) 0 0

(siehe Gleichungen 2.1 und 2.5) zu

E integral m J = dEx T (Ex)z 0

(A.12)

vereinfachen läßt.

Bei 0 Kelvin sind ₁ und ₂ durch

m z1 = ---2-3(EF - Ex) 2p h

(A.13)

und

-m---- z2 = 2p2h3(EF - Ex - eU )

(A.14)

gegeben. Auf diese Weise erhalten wir

-m--- { 2p2mh3eU wenn 0 < Ex < EF - eU z = 2p2h3(EF - Ex) wenn EF - eU < Ex < EF 0 wenn Ex > EF

(A.15)

Gleichungen A.7 und A.15 in Gl. A.12 eingesetzt ergibt die Tunnelstromdichte J, wie sie in Gleichung 2.7 ausgedrückt ist:

E -eU em [ F integral { V ~ ------------} J = --2-3- eU dEx exp - ADs EF + f - Ex 2p h 0 E integral F { V~ -------------}] + dEx (EF - Ex) exp - ADs EF + f - Ex . (A.16) EF- eU

Simmons zeigt in [37], wie Gl. A.16 integriert werden kann, wenn man sie in folgender Form schreibt:

em [ EF integral -eU { V ~ -------------} J = ----3- eU dEx exp - ADs EF + f - Ex 2p2h 0 integral EF { V~ -------------} - f dEx exp - ADs EF + f - Ex EF- eU integral EF { V~ -------------}] + dE (E + f - E )exp -ADs E + f - E . (A.17) x F x F x EF-eU

Das erste Integral ergibt

{ [ ] (8pmU/h3)(e/ADs)2 [ADs(f + eU )12 + 1] exp - ADs(f + eU )12 [ ]} 12 12 - [ADs(f + EF ) + 1] exp - ADs(f + EF ) . (A.18)

Der zweite Term, in dem die Fermienergie im Exponenten steht, ist gegenüber dem ersten vernachlässigbar. Da zusätzlich A

+ eU) » 1 gilt, reduzieren wir das Ergebnis A.18 zu

1 [ 1] (8pme2/h3ADs)U (f + eU )2 exp - ADs(f + eU)2 .

(A.19)

Genauso wie das erste, so kann auch das zweite Integral behandelt werden:

{ 1 1 - (8pme/h3)(ADs) -2f [ADsf 2 + 1] exp(- ADsf 2) 1 [ 1]} - [ADs(f + eU)2 + 1]exp - ADs(f + eU) 2 . (A.20)

Das dritte Integral der Gleichung A.17 hat die Form

integral (z3 3z2 6z 6 ) dz z3e-az = - e-az ---+ ----+ ---+ --- , a a2 a3 a4

(A.21)

wenn man z² = E_F + - E_x substituiert.

Wenn die letzten beiden Terme in der Klammer von Gleichung A.21 gegenüber den beiden vorangehenden vernachlässigt werden, berechnet sich das dritte Integral in Gleichung A.17 zu

{ 3 1 3 [ 1] (8pme/h3ADs) f 2 exp(- ADsf 2)- (f + eU) 2 exp - ADs(f + eU )2 1 + (3/ADs)f exp(- ADsf [2) ]} 12 - (3/ADs)(f + eU )exp -ADs(f + eU ) . (A.22)

Aus der Summation über die drei Teilergebnisse A.19, A.20 und A.22 resultiert

{ 1 [ 1]} J = J0 fexp( - ADsf 2)- (f + eU) exp -ADs(f + eU )2 ,

(A.23)

wobei

e J0 := ----------- 2ph(bDs)2

(A.24)

definiert wurde.

Für kleine Spannungen, d.h. eU « , nimmt , wie in Gleichung A.5 definiert, den Wert eins an. Außerdem läßt sich Gl. A.23 durch weitere Näherungen vereinfachen: zuerst kann im Argument der zweiten Exponentialfunktion die Wurzel entwickelt werden, so daß wir