2.2.  Berechnungen des Tunnelstroms

Die Tatsache, daß entgegen der Vorhersage der klassischen Physik überhaupt ein Strom durch eine Potentialbarriere fließt, läßt sich auf verschiedene Weise erklären. Zum Beispiel kann man zeigen, daß die Verweildauer eines Teilchens in einer eindimensionalen rechteckigen Barriere immer kleiner ist als h/(V - E) (siehe Abb.  2.3),

welche besagt, daß das Produkt der Energiemeßgenauigkeit E mit dem Meßfehler der Zeit t immer größer als h ist, nicht mit Sicherheit ausschließen kann, daß das Teilchen gleichzeitig eine Energie E < V habe und sich zwischen x = 0 und x = L aufhalte.

Beim Beispiel der rechteckigen Potentialbarriere bleibend läßt sich der Teilchentransfer von links nach rechts auch durch einfaches Lösen der stationären Schrödingergleichung

berechnen. Die Transmissionswahrscheinlichkeit lautet für den Fall E < V ₀ (siehe z.B. [2] oder [27])

wobei k = /h ist. Bei Treppenfunktionspotentialen mit endlich vielen Stufen läßt sich die Transfermatrixmethode [23] anwenden.

2.2.1.  Tunnelstromdichte nach Simmons bei kleinen Spannungen

Legt man an besagte Elektroden eine Spannung an, so fließt aufgrund des quantenmechanischen Tunneleffekts ein Elektronenstrom.

	Notation:
m	Elektronenmasse
e	Elektronenladung
V (x)	Potential der Barriere
EF	Fermienergie
U	an den Elektroden anliegende Spannung
J	Tunnelstromdichte
f(E)	Fermi-Dirac-Funktion
s1,s2	Stellen, an denen V = EF gilt
s	= s2 - s1, Breite der Barriere
	mittlere Barrierenhöhe
vm	maximale Geschwindigkeit der Elektronen
Em	maximale Energie der Elektronen

(2.1)

wobei n(v_x)dv_x die Anzahl der Elektronen pro Einheitsvolumen ist, deren Geschwindigkeit in x-Richtung zwischen v_x und v_x + dv_x liegt, und T(E_x) die Tunnelwahrscheinlichkeit gemäß der WKB-Näherung (nach Wentzel, Kramers und Brillouin benannt), die u.a. in [24] beschrieben wird:

(2.2)

Die Elektronen im Metall werden als freies Gas angenommen, so daß ihre Zustandsdichte im -Raum 2, und im -Raum 2 (wegen h = m) ist. Die Anzahl der Elektronen pro Einheitsvolumen in einem infinitesimalen Geschwindigkeitsintervall ist daher

(2.3)

Über die Geschwindigkeitskomponenten parallel zur Oberfläche muß also noch integriert werden. Aus Gl.  2.3 erhält man dabei

(2.4)

mit E_|| = m(v_y² + v _z²).

Nun kann Gleichung  2.4 in Gl.  2.1 eingesetzt werden:

Die Anzahl der Elektronen, die in Abbildung  2.4 von rechts nach links fließen, läßt sich ähnlich bestimmen. Dabei ist zu beachten, daß die Tunnelwahrscheinlichkeit T unabhängig von der Richtung ist, die Fermi-Dirac-Funktion nun aber als Funktion von E + eU genommen werden muß, also

(2.5)

Bei U0 erhält man eine resultierende Ladungsstromdichte J = eN mit N = N₁ - N₂.

Aus der Abbildung  2.4 geht hervor, daß V (x) = E_F + . Diese Substitution wird in in Gl.  2.2 eingesetzt. Nach Einführung der mittleren Barrierenhöhe , zeigt Simmons, daß in guter Näherung

(2.6)

gilt, was in Anhang  A.1 gezeigt wird, wo auch die Definition des Korrekturfaktors zu finden ist. Dieser beträgt für kleine Spannungen (U « /e) ungefähr eins. Wenn man zusätzlich die Fermi-Dirac-Funktion durch eine Stufenfunktion annähert, was aufgrund der hohen Fermitemperatur (T « T_F ) der Elektronen in Metallen gerechtfertigt ist, erhält man für J nach einigen einfachen Umformungen (siehe Anhang  A.2) folgenden Ausdruck, in dem Gleichung  2.6 bereits berücksichtigt ist:

Gleichung  2.8 bietet einerseits die Möglichkeit, die Tunnelstromdichte ohne die genaue Kenntnis des Barrierenverlauf (x) zu berechnen —lediglich die mittlere Barrierenhöhe muß bekannt sein—, andererseits erlaubt sie aber auch, aufgrund einer gemessenen Strom-Spannungs-Charakteristik die mittlere Barrierenhöhe zu bestimmen.

Der erste Term in Gleichung  2.8 kann als Stromdichte aufgefaßt werden, die von nach rechts tunnelnden Elektronen herrührt, der zweite als diejenige der nach links tunnelnden Elektronen. Die Differenz ergibt die Gesamtstromdichte.

Für kleine Spannungen läßt sich Gl.  2.8 weiter zu

(2.9)

vereinfachen, wie ebenfalls in Anhang  A.2 gezeigt wird. Dabei wird im Ausdruck für A der Faktor gleich Eins gesetzt, also A = .

Die exponentielle Abhängigkeit vom Abstand s zwischen der Tunnelspitze und der Probenoberfläche ist wesentlich für den Tunnelvorgang: da der Wert von A ^. beim Tunnelmikroskop üblicherweise im Bereich 1 Å^-1 –2 Å^-1 liegt, variiert der Strom schon über Größenordnungen, bei Abstandsänderungen im Ångstrøm-Bereich. Außerdem weist Gl.  2.9 einen Ohmschen Zusammenhang zwischen Strom und Spannung auf.

2.2.2.  Die Tersoff-Hamann-Theorie

Die Tersoff-Hamann-Theorie basiert auf der zeitabhängigen Störungstheorie. Mittels Fermi’s Goldener Regel läßt sich der Tunnelstrom nämlich folgendermaßen schreiben:

(2.10)

	Notation:
U	angelegte Spannung
f(E)	Fermi-Dirac-Funktion
M	Tunnelmatrixelement zwischen Spitzenzustand
	und Oberflächenzustand
E	Energie des Zustandes

(2.11)

E_F ist dabei die Fermienergie. Das Hauptproblem stellt die Berechnung des Matrixelements M dar. Bardeen [1] hat gezeigt, daß

(2.12)

wobei die Integrationsfläche komplett zwischen den Elektroden, also innerhalb der Barriere, liegen muß.

Es werden also Ausdrücke für sowohl die Spitzenfunktion als auch die Oberflächenfunktion benötigt. Die letztere kann zunächst in eine Fourrierreihe entwickelt werden.² Erstere ist jedoch im allgemeinen unbekannt. Sie wird im Modell von Tersoff und Hamann als Kugelwelle angenommen, mit dem Mittelpunkt ₀ (siehe Abbildung  2.5).

Abbildung 2.5: Schema der Tunnelgeometrie nach Tersoff und Hamann. Die Spitze hat eine willkürliche Form, wird jedoch unmittelbar über der Oberfläche (schraffiert) als kugelförmig mit Krümmungsradius R angenommen. Der Abstand zur Fläche wird hier d, der Mittelpunkt der Kugel 0 genannt. (aus [40])

Auf diese Weise erhalten sie bis auf einige konstante Faktoren folgenden Ausdruck für den Strom I:

(2.13)

Dabei ist D_S(E_F ) die Zustandsdichte an der Fermikante für die Spitze, k = /h die reziproke Abklinglänge der Wellenfunktion im Vakuum, die lokale Barrierenhöhe und R der effektive Radius der Spitze. Die Summe identifiziert man leicht als lokale Zustandsdichte (LDOS³) der Probenoberfläche an der Fermienergie. Nach dieser Theorie werden bei der Rastertunnelmikroskopie also Abbilder von Flächen konstanter LDOS an der Fermikante erzeugt.

Zwar hat der Wert der Oberflächenwellenfunktion am Ort ₀ keine physikalische Relevanz —das Matrixelement ist durch eine Integration vollständig innerhalb der Isolatorregion bestimmt—, doch beschreibt die formale Berechnung von im Abstand R + d auf korrekte Weise die laterale Mittelung aufgrund der endlichen Spitzenausdehnung.

Der exponentielle Abfall von senkrecht zur Probenoberfläche

wirkt sich damit direkt auf den Strom I aus, denn der ist zum Betragsquadrat der Oberflächenzustände am Ort ₀ proportional, woraus

(2.14)

folgt. Der Strom gehorcht also auch hier, so wie in der eindimensionalen Betrachtung, der exponentiellen Abhängigkeit vom Abstand und der Wurzel aus der effektiven Barrierenhöhe.

Gute quantitative Übereinstimmung mit STM-Experimenten auf einer 2 × 1-rekonstruierten Gold-(110)-Oberfläche [39] war der erste Erfolg dieser Theorie. Rechnungen für dieses Beispiel ergaben eine laterale Auflösung von 5 Å, womit die Periodizität von 8 Å beobachtet werden kann.

Jedoch wurden bald entscheidende Mängel der Tersoff-Hamann-Theorie erkannt. Sie war vor allen Dingen nicht in der Lage, die atomare Auflösung zu erklären, was unter anderem mit dem Ausschluß der p- und d-Zustände zusammenhängt. So zeigten Ohnishi und Tsukada 1989 mit ihrer Molekülorbitaltheorie [30], daß die d_z²-Zustände des Spitzenatoms einer Wolframnadel den dominanten Beitrag zum Tunnelstrom geben. Sie machten dabei verschiedene Modellannahmen für Wolframcluster am Ende der Nadel, mit denen First-Principles-Rechnungen durchgeführt wurden, wobei sich herausstellte, daß die d_z²-Zustände eine stark gerichtete und weite Ausdehnung haben und energetisch nahe an der Fermikante liegen.

Ein wichtiges Problem stellt außerdem die gegenseitige Beeinflussung von Probe und Spitze dar. Bardeen ist bei der Berechnung des Tunnelmatrixelements von ungestörten Wellenfunktionen ausgegangen. Dies ist nur bei genügend großen Abständen zwischen den Elektroden gerechtfertigt, d.h. ab einem Abstand von ca. 6 Å, ab dem die atomare Korrugation allerdings verschwindet [13]. Auf Profile großer Überstrukturen wie z.B. eben denen auf Au(110) oder auf einzelne, auf glatten Metalloberflächen adsorbierte Atome, wie es in [25] beschrieben wird, ist die Theorie jedoch gut anwendbar.

2.2.3.  Modifizierte Bardeen-Theorie

1993 stellte Chen in [13] die Modifizierte Bardeen-Theorie (MBA⁴) vor, in der er die Vorgehensweise von Bardeen abwandelte. Dabei waren folgende Erfordernisse zu erfüllen:

• Im Grenzfall großer Strukturen auf Metalloberflächen und kleiner Tunnelspannungen sollte man die gleichen Ergebnisse wie die aus der Tersoff-Hamann-Theorie erhalten.
• Aufgrund der starken Abhängigkeit der STM-Meßbilder von der Spitze kann diese nicht wie bei Tersoff und Hamann einheitlich behandelt werden: es müssen alle verschieden möglichen Spitzenzustände betrachtet werden, insbesondere die mit l0.
• Da die Tunnelbarriere bei kleinen Elektrodenabständen stark sinken kann, darf eU « keine Voraussetzung mehr sein.
• Die Wellenfunktionen beider Elektroden müssen störungstheoretisch modifiziert werden, um ihrer gegenseitigen Beeinflussung gerecht zu werden.

Chen hat gezeigt, daß Bardeens Übergangsmatrixelement selbst bei verschwindender oder sogar negativ werdender Barriere durchaus korrekte Ergebnisse liefert, sofern man die richtig modifizierten Wellenfunktionen einsetzt.

Für die störungstheoretische Behandlung wurde, wie in Abbildung  2.6a

(2.15)

das heißt, daß in der Spitzenregion U_S = 0 und in dem Bereich der Oberfläche U_T = 0 gilt. Also gilt die weitere Relation⁶

(2.16)

Abb.  2.6b zeigt den Verlauf von U sowie die Energien der beiden Zustände. In den beiden unteren Diagrammen der Abbildung  2.6 ist zu erkennen, daß die Potentiale U_S und U_T den jeweils zugehörigen ungestörten Potentialen U_S0 und U_T0 gegenüber in der Barrierenregion verringert sind. Die jeweilige Differenz zwischen gestörtem und ungestörtem Potential wird als Störung behandelt. Mit diesen Störpotentialen kann dann zeitabhängige Störungstheorie betrieben werden, mit der man in erster Ordnung (Fermi’s Goldene Regel) die Übergangswahrscheinlichkeit für ein Elektron vom Oberflächenzustand in den Spitzenzustand

(2.17)

erhält.

Das Matrixelement

(2.18)

hat hier die gleiche Form wie das der Bardeen-Theorie, doch müssen nun die modifizierten Wellenfunktionen eingesetzt werden. Es hat die Dimension einer Energie. Chen hat gezeigt, daß die Bedeutung dieses Übergangsmatrixelements gerade der Verringerung der Tunnelbarriere durch die Überlappung der beiden Wellenfunktionen, also der Austauschwechselwirkung, entspricht.

Der Effekt des Störpotentials, z.B. V U_S -U_S0, kann mittels der Dyson-Gleichung in erster Ordnung

(2.19)

berechnet werden. Dabei sind ₀ und jeweils die ungestörte beziehungsweise die gestörte Wellenfunktion. Die Greensche Funktion G(,^') ist durch

(2.20)

definiert.

Zur Überprüfung wurde die MBA auf analytisch lösbare Fälle angewandt, nämlich auf das Problem der eindimensionalen rechteckigen Potentialbarriere (siehe Abb.  2.3) sowie auf das Elektron im Wasserstoffmolekülion. In beiden Rechnungen erreicht die Modifizierte Bardeen-Theorie eine hohe Genauigkeit, selbst wenn die Barriere verschwindet oder sogar niedriger als die Teilchenenergie wird. Da die Rechnungen lang und aufwendig sind, werden sie hier nicht aufgeführt; es sei dazu nur auf den ausführlichen Aufsatz von Chen [13] verwiesen.

Für die Anwendung der MBA auf das STM hat Chen explizite Ausdrücke für das Übergangsmatrixelement berechnet, indem er die Wellenfunktionen der Spitze in Kugelflächenfunktionen entwickelte und mit ihnen die Schrödingergleichung löste. Einsetzen einer beliebigen Spitzenfunktion mit einem Bahndrehimpuls bis zu l = 2 sowie der Probenfunktion in Gl.  2.18 lieferte einen Ausdruck für das Matrixelement, der als Linearkombination von partiellen Ableitungen der Probenfunktion am Mittelpunkt des Spitzenatoms geschrieben werden kann.

Dieses Resultat faßte Chen [9] zusammen in der sogenannten Derivative Rule: man schreibe die Spitzenwellenfunktion in Abhängigkeit von x, y und z, nehme folgenden Ersatz vor:

(2.21)

wende diese Ableitungen auf die Probenwellenfunktion an und erhalte somit das gewünschte Übergangsmatrixelement. k ist wie in Abschnitt  2.2.2 definiert. Zu den detaillierten Rechnungen und Ergebnissen sei wiederum auf [13] verwiesen.

Mittels dieser Regel lassen sich die zu verschiedenen Orbitalen gehörenden Matrixelemente einfach berechnen. Da das Betragsquadrat dieser Elemente proportional zur Tunnelleitfähigkeit ist, erhält man somit die Leitfähigkeitsverteilung ().

Bemerkenswert ist dabei, daß man das gleiche Tunnelmatrixelement erhält, wenn man die Probenwellenfunktion mit der Spitzenwellenfunktion vertauscht. So ist () z.B. sowohl im Falle eines s-Orbitals an der Spitze und d_z²-Zuständen an der Probenoberfläche als auch im umgekehrten Fall proportional zu (3 cos ² - 1)²e^-2r. Diese Tatsache wird das Reziprozitätsprinzip genannt [8]. Man kann ein STM-Bild also derart interpretieren, daß das Probenorbital mit dem Spitzenorbital abgetastet wird, oder das Spitzenorbital mit dem Probenorbital. Eine Illustration zu diesem Resultat zeigt Abbildung  2.7.

Außerdem zeigte der Vergleich der Matrixelemente für Wellenfunktionen verschiedener l-Quantenzahlen (0 < l < 2), daß hohe Werte für l ein Vielfaches der atomaren Korrugation, die die Flächen gleicher lokaler Zustandsdichte (LDOS) aufweisen, ergeben. Damit konnte erstmals eine plausible Erklärung für extrem große mit dem STM gemessene Korrugationsamplituden von bis zu 8 Å auf der Aluminium-(111)-Fläche, die vorerst nicht mit den Resultaten von First-Principles-Rechnungen oder Heliumstreuexperimenten, welche eine Amplitude von nur 0,03 Å für die Fläche gleicher LDOS im Abstand von 3 Å aufzeigen, zu vereinbaren gewesen waren, gegeben werden.

An dieser Stelle seien die wichtigsten Ergebnisse, die sich aus der störungstheoretischen Behandlung des Tunnelproblems von Chen ergeben haben, aufgelistet:

• Die modifizierte Bardeen-Theorie kann auch für sehr geringe Tunnelabstände angewandt werden, bei denen die Potentialbarriere zusammenbricht oder sogar negativ wird. Im Falle großer Abstände, bei denen die Wechselwirkung zwischen den Wellenfunktionen abnimmt, geht die Tunnelwahrscheinlichkeit in die der Tersoff-Hamann-Theorie über.
• Es werden verschiedene Spitzenzustände mit einbezogen, auch die mit l0. Dies ist wichtig, da aufgrund verschiedener Modellrechnungen (siehe z.B. [30]) zu vermuten ist, daß d-Zustände an Spitzenatomen eine größere Reichweite haben als von Tersoff und Hamann angenommen.
• Der sehr unterschiedliche Bildkontrast auf STM-Bildern, der oftmals spontan wechselt, kann als Änderung des Spitzenzustands interpretiert werden.
• Die Derivative Rule bietet eine einfache Möglichkeit, die Tunnelmatrixelemente zu berechnen.
• Das Reziprozitätsprinzip kann die besonders hohe Korrugation auf Aluminium erklären: bei einer „s-Wellen-Spitze“ stellt das STM-Bild das Ladungsdichteprofil dar, welches sich durch die Superposition der Ladungsdichten aller Atome ergibt. Nach dem Reziprozitätsprinzip aber erhält man bei einer d_z²-Spitze das Bild einer fiktiven Oberfläche mit d_z²-Zuständen an jedem Atom. Ein solches Profil weist eine wesentlich höhere Korrugation auf als die „Fermi-Level-LDOS“ [12].
• Letztendlich sei darauf hingewiesen, daß die MBA auch Formeln für die Beschreibung der Kräfte durch die Austauschwechselwirkung, welche die dominante Kraft unter üblichen Tunnelbedingungen ist, bereitstellt.

Zum Schluß sollte erwähnt werden, daß es außer der modifizierten Bardeen-Theorie von Chen auch andere Theorien gibt, die von der Bardeen-Näherung abweichende Ansätze haben, wie z.B. den streutheoretischen Ansatz von Doyen in [15] oder die Berechnungen von Noguera in [29] mittels Greenscher Funktionen, die die Kopplung beider Elektroden vollständig mit einbeziehen.